目录

1、空间三维坐标系的平移(矢量加法获取)

2、空间三维坐标系的旋转（旋转矩阵）

3、坐标系一般变换（平移+旋转）

4、空间三维坐标系的旋转加平移，齐次变换

4.1、坐标变换

4.2、坐标系的描述

4.3、运动算子

5、齐次变换矩阵乘法的物理意义

5.1、使用齐次矩阵相乘，可以时间坐标系描述之间的转换。

5.2、相对固定坐标系先后发生的若干运动的合成(从右向左乘)

5.3、相对运动坐标系先后发生的若干运动的合成(从左向右乘)

6、齐次矩阵的逆变换

7、RPY角和欧拉角

7.1、RPY角

7.1.1、特殊情况，每次绕轴旋转90度角

7.1.2、一般情况，绕x轴转动，绕y轴转动，绕z轴转动

7.2、欧拉角

7.1.1、特殊情况，每次绕轴旋转90度角

7.1.2、一般情况，绕x轴转动，绕y轴转动，绕z轴转动

8、旋转变换通式：旋转向量，向量长度为旋转角度。

8.1、正解，已知三维的单位向量k和角度，求解旋转矩阵

8.1.1、获取三个分量

8.1.2、旋转动作拆分

8.1.3、将拆分量带入计算结果

8.2、逆解，已知三维旋转矩阵，求解单位向量k和角度

8.2.1、问题描述

8.2.2、问题求解

参考资料：

1、空间三维坐标系的平移(矢量加法获取)

已知P点在坐标系B中的坐标为 = (x, y, z)，B坐标系相对A坐标系平移了，求解P点在A坐标系中的坐标。

解题思路：根据适量的加法即可求解

= +

2、空间三维坐标系的旋转（旋转矩阵）

已知P点在坐标系B中的坐标为，B坐标系相对A坐标系任意旋转，旋转矩阵为，求解P点在A坐标系中的坐标。

解题思路是： P点在B坐标系的坐标为 = 将分解到 A 坐标的三个轴上，同理将P点在B坐标系的y，z坐标值也分解到A坐标系的三个轴上。

，，

将所有分量在A坐标系上同一轴的分量相加可得：

因此旋转矩阵可表示为以下等式：

3、坐标系一般变换（平移+旋转）

已知P点在坐标系B中的坐标为，B坐标系相对A坐标系任意旋转+平移，旋转矩阵为，移动向量为，求解P点在A坐标系中的坐标。

4、空间三维坐标系的旋转加平移，齐次变换

旋转使用矩阵乘法，平移使用矩阵加法计算，为了将旋转和平移统一成矩阵乘法的形式，将变量升维成齐次变换形式。

齐次变换矩阵的三个物理含义

4.1、坐标变换

作为两个坐标系见的坐标变换矩阵。 已知P点在B坐标轴的坐标，B坐标系以 A 坐标系为基础的相对位置和姿态，求解P点在A坐标轴的坐标。

4.2、坐标系的描述

描述坐标系B相对A的位置和姿态； 以A为基坐标轴，B坐标系原点相对A坐标系原点的位置(x,y,z)；姿态(Bx在A轴三个方向投影的余弦角度；同理By；Bz等9个角度)； 因为在1.1中，单独考虑旋转，定义就是B轴x坐标与A坐标系三个轴的夹角；B坐标系的y，z轴同理。

4.3、运动算子

作为运动算子来表示刚体的运动情况。

5、齐次变换矩阵乘法的物理意义

5.1、使用齐次矩阵相乘，可以时间坐标系描述之间的转换。

已知C坐标系相对B坐标系的齐次矩阵；和B坐标系相对A坐标系的齐次矩阵；求取 C 坐标系相对 A 坐标系的齐次矩阵。

5.2、相对固定坐标系先后发生的若干运动的合成(从右向左乘)

固定坐标系A；初始状态ABC坐标系重合；先将C坐标系相对B运动；再将BC相对A运动(保证BC间相对位置不变)。先运动的齐次矩阵在乘号右边。

5.3、相对运动坐标系先后发生的若干运动的合成(从左向右乘)

固定坐标系A；初始状态ABC坐标系重合；先将BC坐标系相对A运动；再将C相对B运动(保证BC间相对位置不变)。先运动的齐次矩阵在乘号左边。

6、齐次矩阵的逆变换

齐次矩阵的逆物理含义为：齐次矩阵代表B坐标系相对A坐标系的位置和姿态；逆代表A坐标系相对B坐标系的位置和姿态。

7、RPY角和欧拉角

问题：坐标系的一般变换=旋转+平移；需要 9 + 3 个变量来求解。一个三维的旋转需要使用 9 个角度的余弦求解；实际这9个余弦值只有3个是独立的，过于复杂。因此引入RPY和欧拉角的概念。

已知初始状态下，A、B两个坐标系重合，A坐标系固定不动，B坐标系进行旋转，存在两种情况： RPY 角(固定轴)：B坐标系绕A坐标的x，y，z三个轴进行旋转；固定坐标系的连续运动。 欧拉 角(运动轴)：B坐标系绕B坐标的z轴旋转得到坐标系，然后绕坐标系的y轴旋转得到坐标系，最后然坐标系的x轴旋转得到最终的坐标系 B。

7.1、RPY角

RPY 角(固定轴)：B坐标系绕A坐标的x，y，z三个轴进行旋转；固定坐标系的连续运动。计算旋转矩阵需要使用2个知识点：

a、矩阵依旧采用第二章中旋转矩阵的形式，只是角度转动比较特殊。

b、5.2节知识，绕固定轴连续转动，采用从右向左的方向乘。

7.1.1、特殊情况，每次绕轴旋转90度角

7.1.2、一般情况，绕x轴转动，绕y轴转动，绕z轴转动

根据旋转矩阵求解 三个角度；

7.2、欧拉角

欧拉角(运动轴)：B坐标系绕B坐标的z轴旋转得到坐标系，然后绕坐标系的y轴旋转得到坐标系，最后然坐标系的x轴旋转得到最终的坐标系 B。计算旋转矩阵需要使用2个知识点：

a、矩阵依旧采用第二章中旋转矩阵的形式，只是角度转动比较特殊。

b、5.2节知识，绕运动轴连续转动，采用从左向右的方向乘。

7.1.1、特殊情况，每次绕轴旋转90度角

7.1.2、一般情况，绕x轴转动，绕y轴转动，绕z轴转动

RPY角和欧拉角的旋转矩阵相同；但是角度的定义和运动方式是不同的。

8、旋转变换通式：旋转向量，向量长度为旋转角度。

旋转变量通式需要证明的2个问题：

8.1、正解，已知三维的单位向量k和角度，求解旋转矩阵

已知坐标系A，进过三维旋转得到坐标系B；三维旋转可以理解为以A坐标系为原点的某个单位向量k，将坐标系A绕向量k旋转角度得到坐标系B。

8.1.1、获取三个分量

理解要点：

a、旋转矩阵 为何第三列为

向量 以A轴原点为起始点的单位坐标，所以 ，第三列代表坐标系的z轴在坐标系A的分量，与第2章旋转矩阵的定义相符合。

b、为何 两个旋转矩阵相同

注意四个坐标系的定义；坐标系A、B开始为重合的2个坐标系，坐标系 、 开始也是重合的坐标系； 、两个坐标系的z轴与向量k重合；A绕k向量旋转角度得到B，同步 绕k向量旋转角度得到；所以 坐标系相对A坐标的位姿 等于 坐标系相对B坐标系的位姿，因此两个旋转矩阵相同。

c、旋转矩阵描述

针对 、两个坐标系的z轴与向量k重合，绕z轴旋转角度的旋转矩阵可以如下表示：

8.1.2、旋转动作拆分

理解要点：

将 拆分为三个旋转矩阵相乘的形式，将1次旋转变换拆分成3次旋转变换。

8.1.3、将拆分量带入计算结果

8.2、逆解，已知三维旋转矩阵，求解单位向量k和角度

8.2.1、问题描述

8.2.2、问题求解

参考资料：

机器人学 l 2.2 坐标变换_哔哩哔哩_bilibili